对坐标的曲面积分的对称性（对坐标的曲面积分）

大家好，我是小典，我来为大家解答以上问题。对坐标的曲面积分的对称性，对坐标的曲面积分很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

1、用公式直接计算：

2、注意是球面的下侧，所以z=-√R^2-x^2-y^2，化成二重积分时取负号

3、S在xoy面的投影为Dxy：x^2+y^2≤R^2

4、则原式化成二重积分=-∫∫（Dxy上）【x^2*y^2*（-√R^2-x^2-y^2）】dxdy

5、 =∫∫（Dxy上）【x^2*y^2*√R^2-x^2-y^2）】dxdy

6、用极坐标算上述二重积分

7、=∫（0到2∏）dθ∫（0到R）【（sinθ）^2*（cosθ）^2*r^5*√R^2-r^2】dr

8、=∫（0到2∏）（sinθ）^2*（cosθ）^2dθ∫（0到R）r^5*√R^2-r^2dr

9、=2∏R^7/105。

10、其中∫（0到2∏）（sinθ）^2*（cosθ）^2dθ

11、 =∫（0到2∏）[（1-cos2θ）/2]*[（1+cos2θ）/2]dθ

12、 =∫（0到2∏）[1-(cos2θ）^2]/4dθ

13、 =∫（0到2∏）[1-(1+cos4θ）/2]/4dθ

14、 =∫（0到2∏）(1-cos4θ）/8dθ

15、 =∏/4

16、其中∫（0到R）r^5*√R^2-r^2dr，令r=Rsint，

17、 得=∫（0到∏/2）R^7*（sint）^5*（cost）^2dt

18、 =R^7∫（0到∏/2）[（sint）^5-(sint）^7]dt

19、 =R^7∫（0到∏/2）[（sint）^4-(sint）^6]*sintdt

20、 =-R^7∫（0到∏/2）[1-（cost）^2]^2*[1-(cost）^2]^3dcost

21、 =-R^7∫（0到∏/2）[(cost）^2-2(cost）^4+(cost）^6]dcost

22、 =8R^7/105。

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。