柯西分布与正态分布关系（柯西分布）

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1、柯西分布也叫作柯西-洛仑兹分布,它是以奥古斯丁·路易·x0d柯西与亨得里克·洛仑兹名字命名的连续概率分布,x0d其概率密度函数为x0df(X;X0,γ)=1/πγ[1+(X-X0)平方/γ平方]x0d其中 x0 是定义分布峰值位置的位置参数,γ 是最大值一半处的一半宽度的尺度参数.x0d作为概率分布,通常叫作柯西分布,x0d物理学家也将之称为洛仑兹分布或者 Breit-Wigner 分布 .x0d在物理学中的重要性很大一部分归因于它是描述受迫共振的微分方程x0d的解.在光谱学中,它描述了被共振或者其它机制加宽的谱线形状.x0d在下面的部分将使用柯西分布这个统计学术语.x0dx0 = 0 且 γ = 1 的特例称为标准柯西分布,其概率密度函数为x0df(X;0,1)=1/π[1+X平方]特性其累积分布函数为：x0dF(X;X0,γ)=(1/π)*arctan[(X-X0)/γ]+1/2柯西分布的平均值、方差或者矩都没有定义,x0d它的众数与中值有定义都等于 x0.x0d取 X 表示柯西分布随机变量,柯西分布的特性函数表示为：x0dΦx(t;X0,γ)=exp(i*X0*t-γ*t的绝对值)x0d如果 U 与 V 是期望值为 0、方差为 1 的两个独立正态分布随机变量的话,那么比值 U/V 为柯西分布.x0d如果 X1,…,Xn 是分别符合柯西分布的相互独立同分布随机变量,那么算术平均数（x0dX1 + … + Xn）/n 有同样的柯西分布.为了证明这一点,x0d我们来计算采样平均的特性函数：x0dΦx拔(t)=E[exp(i*x拔*t)]x0d其中,X拔是采样平均值.x0d这个例子表明不能舍弃中心极限定理中的有限变量假设.。

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