数列错位相减法例题求和典型例题(数列错位相减法例题)
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1、错位相减法 错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
2、 形如An=BnCn,其中Bn为等差数列,Cn为等比数列;分别列出Sn,再把所有式子同时乘以等比数列的公比,即kSn;然后错一位,两式相减即可。
3、 例如,求和Sn=x+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)(x≠0)
4、 当x=1时,Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n^2;
5、 当x不等于1时,Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1);
6、 ∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n;
7、 两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n;
8、 化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2
9、 Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n
10、 两边同时乘以1/2
11、 1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同,这样写看的更清楚些)
12、 两式相减
13、 1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
14、 Sn=1-1/2^n
15、 错位相减法是求和的一种解题方法。在题目的类型中:一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用。这是例子(格式问题,在a后面的数字和n都是指数形式):
16、 S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan (1)
17、 在(1)的左右两边同时乘上a。 得到等式(2)如下:
18、 aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 (2)
19、 用(1)—(2),得到等式(3)如下:
20、 (1-a)S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 (3)
21、 (1-a)S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1
22、 S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式。
23、 (1-a)S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1
24、 最后在等式两边同时除以(1-a),就可以得到S的通用公式了。
25、 例子:求和Sn=3x+5x平方+7x三次方+……..+(2n-1)乘以x的n-1次方(x不等于0)
26、 解:当x=1时,Sn=1+3+5+…..+(2n-1)=n平方
27、 当x不等于1时,Sn=Sn=3x+5x平方+7x三次方+……..+(2n-1)乘以x的n-1次方
28、 所以xSn=x+3x平方+5x三次方+7x四次方……..+(2n-1)乘以x的n次方
29、 所以两式相减的(1-x)Sn=1+2x(1+x+x平方+x三次方+。。。。。+x的n-2次方)-(2n-1)乘以x的n次方。
30、 化简得:Sn=(2n-1)乘以x得n+1次方 -(2n+1)乘以x的n次方+(1+x)/(1-x)平方
31、 Cn=(2n+1)*2^n
32、 Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n
33、 2Sn= 3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1)
34、 两式相减得
35、 -Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1)
36、 =6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1)
37、 =6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比数列求和)
38、 =(1-2n)*2^(n+1)-2
39、 所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2
40、 错位相减法
41、 这个在求等比数列求和公式时就用了
42、 Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n
43、 两边同时乘以1/2
44、 1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同,这样写看的更清楚些)
45、 两式相减
46、 1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
47、 Sn=1-1/2^n
本文到此讲解完毕了,希望对大家有帮助。
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